e-mail: [email protected]    телефон:   8 (495) 500-94-16 - администратор

Рубрики

  • Музей заповедник
  • Музей государственный
  • Музей
  • Новости









  •  
     

    Пересечение плоскости с поверхностью алгоритм. Примеры пересечения поверхностей

    Опубликовано: 24.08.2018

    когда одна из них занимает проецирующее положение

    Проецирующее положение по отношению к какой-либо плоскости поверхность занимает тогда, когда перпендикулярна к указанной плоскости. В этом случае на соответствующую плоскость она проецируется в линию.

    Из рассматриваемых в этом курсе поверхностей по понятным причинам только две могут занимать проецирующее положение - призма и цилиндр. Тогда призма, боковая поверхность которой перпендикулярна какой-либо плоскости проекций, на нее проецируется в замкнутую ломаную линию (многоугольник), а цилиндр - в окружность.

    Исходя из этого алгоритм построения линии пересечения двух поверхностей, одна из которых занимает частное (т.е. проецирующее), а другая общее положение, сводится к следующему:

    1). Построить проекцию линии (линий) пересечения на той плоскости, по отношению к которой одна из поверхностей занимает проецирующее положение.

    Решение на плоскости проекций, к которой поверхность перпендикулярна, уже имеется: линия пересечения совпадает с проекцией боковой поверхности пространственной фигуры (призмы или цилиндра), - т.к. линия пересечения принадлежит обеим пересекающимся поверхностям, в том числе и проецирующей поверхности.

    2). Построить проекции линии (линий) пересечения на остальных плоскостях проекций.

    Т.е. задача сводится к построению недостающих проекций линии (или линий) на поверхности общего положения, что достаточно подробно было рассмотрено в предыдущих разделах.

    Этим решение задачи не исчерпывается, т.к. необходимо ответить еще на два вопроса: какие участки линии пересечения являются видимыми, а также изобразить видимость участков контурных линий пересекающихся поверхностей.

    3). Определить видимость линии пересечения.

    Решение этого вопроса базируется на следующем правиле: видимыми будут те участки линии пересечения (как, впрочем, и любой другой линии на поверхности), которые лежат на видимых участках пересекающихся поверхностей.

    4). Определить видимость контурных (очерковых) линий самих поверхностей.

    Эта задача решается исходя из определения конкурирующих точек, лежащих на соответствующих скрещивающихся контурных (очерковых) линиях.

    6.2. Пересечение гранных поверхностей

    При пересечении двух многогранников общим геометрическим элементом является замкнутая ломаная линия, состоящая из участков прямой, так как многогранники образованы из плоскостей, а линия пересечения плоскостей представляет собой прямую. Точки излома получаются в местах пересечения граней одного многогранника с ребрами другого.

    В том случае, когда один из многогранников занимает частное положение (т.е. его боковые грани проецируются на одну из плоскостей проекций в многоугольник), задача построения линии их пересечения решается достаточно просто. Ввиду того, что одна из проекций многогранника – многоугольник, проекция линии пересечения на эту плоскость проекций совпадает с ним. Поскольку линия пересечения многогранников принадлежит каждому из них, то задача сводится к построению отсутствующих проекций ломаной линии, а следовательно, к построению проекций точек на поверхности многогранника и соединению из отрезками прямой. Заметим, что частное положение может занимать лишь призма, так как только ее можно расположить таким образом, чтобы боковые ребра, а значит, и грани были перпендикулярны плоскости проекций.

    Рассмотрим описанные приемы построения на примере .

    Пусть пересекаются пирамида и призма частного положения (рис. 6.1). Требуется построить проекции линии их пересечения.

    Рис. 6.1. Построение линии пересечения пирамиды и призмы частного положения.

    Поскольку призма расположена так, что все ее боковые грани перпендикулярны П 1 , то на П 1 ее боковая поверхность проецируется в линию, точнее в треугольник D 1 E 1 F 1 . И горизонтальной проекцией линии пересечения призмы DEFD * E * F * и пирамиды SABC является ломаная линия 1 1 Е 1 5 1 . Таким образом, горизонтальная проекция линии пересечения призмы и пирамиды получена без каких бы то ни было дополнительных построений. Следует учитывать, что грани призмы пересекают не только грань SAC , но и грани SBC и SAB пирамиды, что очевидно из рассмотрения чертежа (рис. 5.10) на П 1 . Следовательно, можно отметить все точки излома линии пересечения 1 1 Е 1 5 1 , расположенные на пересечении ее с ребрами пирамиды. А именно, точки 1 1 , 2 1 , 3 1 , 4 1 , 5 1 , 6 1 . Очевидно, что 3 1 =6 1 , так как ребро ЕЕ* призмы пересекает две грани SAB и SAС пирамиды.

    Линия пересечения на каждой из проекций должна быть замкнутой. Причем ясно, что можно соединять отрезками прямой лишь точки, лежащие на одной и той же грани. Эти правила универсальны, и относятся к любой задаче о пересечении многогранников.

    Тогда на П 1 получаем горизонтальную проекцию линии пересечения призмы и пирамиды в виде ломаной 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 1 1 , лежащей на гранях пирамиды (вместе с тем и призмы).

    Для нахождения фронтальной проекции этой линии необходимо решить задачу построения проекций ломаной линии на поверхность пирамиды. Достаточно построить фронтальные проекции указанных точек. Так как точки 1, 2, 4, 5 лежат на ребрах пирамиды, то их фронтальные проекции 1 2 , 2 2 , 4 2 , 5 2 легко получить по линиям связи. Для нахождения фронтальных проекций 3 2 и 6 2 точек 3 и 6, лежащих на гранях SAB и SAС соответственно, необходимо через точки 3 1 и 6 1 провести образующие S 1 7 1 и S 1 8 1 . Точки 7 и 8 лежат на основании пирамиды, поэтому по линиям связи можно найти фронтальные проекции 7 2 и 8 2 на соответствующих ребрах основания А 2 С 2 и А 2 В 2 пирамиды. Построив фронтальные проекции S 2 7 2 и S 2 8 2 образующих, по линиям связи отметим на них точки 3 2 и 6 2 . Соединив точки, получим замкнутую ломаную 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 1 2 . Последовательность соединения определяется по горизонтальной проекции на основании правила принадлежности соседних точек пересечения одной и той же грани. Например, ошибочным было бы соединение точек 1 2 и 3 2 , так как одна из них лежит на ребре S 2 С 2 , а другая на грани S 2 A 2 B 2 .

    Видимость точек и линий на П 2 определяется по принадлежности граням пирамиды, так как обе грани D 2 E 2 E 2 * D 2 * и Е 2 F 2 F 2 * E 2 * являются видимыми. Поскольку грани S 2 A 2 С 2 и S 2 В 2 С 2 невидимые, то и точки, и прямые, лежащие на них, также невидимые. Проведя невидимые линии пунктиром, получим решение в окончательном виде.

    Рассмотрим случай, когда оба многогранника занимают общее положение в пространстве, решение задачи о нахождении линии их пересечения усложняется, поскольку нужно строить все проекции этой линии. Линия пересечения многогранников проходит через точки пересечения ребер первого многогранника с гранями второго и граней первого с ребрами второго.

    Для решения применим метод секущих вспомогательных плоскостей . Чтобы получить какую-либо точку пересечения многогранников, необходимо найти линию пересечения вспомогательной плоскости с одним из них, затем с другим, далее – точку пересечения этих линий.

    Рассмотрим пример .

    Пусть пересекаются четырехгранная пирамида SABCD и трехгранная призма EFGE*F*G* (рис. 6.2). Необходимо определить проекции точек пересечения: ребер призмы с гранями пирамиды; ребер пирамиды с гранями призмы.

    Рис. 6.2. Построения линии пересечения пирамиды и призмы общего положения.

    Через ребра призмы ЕЕ*, FF *, GG * проведем вспомогательные фронтальные плоскости уровня Ф, Ф*,Ф**. При выборе положения вспомогательной секущей плоскости в каждом конкретном случае руководствуемся правилом: вспомогательная плоскость должна быть плоскостью частного положения и пересекать многогранники по линиям, проекции которых построить несложно. В данном случае линии пересечения с призмой плоскостей Ф, Ф*,Ф**, проходят по ее ребрам, значит, ее проекции совпадают с проекциями ребер призмы.

    Рассмотрим одну из вспомогательных плоскостей Ф. Ее горизонтальная проекция Ф 1 проходит по ребру G 1 G 1 *. Линия пересечения с пирамидой проходит через точку основания 1 1 и параллельна ребру S 1 А 1 . По линии связи находим фронтальную проекцию 1 2 и через нее проводим прямую, параллельную A 2 S 2 , которая является фронтальной проекцией линии пересечения плоскости Ф и пирамиды. Очевидно, что там, где эта линия пересекает ребра G 2 G 2 * и лежит фронтальная проекция 7 2 точки пересечения ребра GG* и грани пирамиды SAD . По линии связи найдем 7 1 . Аналогично строятся точки 4 2 , 5 2 , а по ним 4 1 , 5 1 .

    Проведем вспомогательную плоскость Ф*** теперь по ребру SA пирамиды. Тогда горизонтальная проекция линий пересечения плоскости Ф*** и граней EGG*E* и FGG*F* призмы проходит вдоль А 1 С 1 , через точки 9 1 и 10 1 соответственно основания призмы. По линиям связи найдем положение 9 2 и 10 2 , через которые проведем образующие призмы, параллельные ее боковым ребрам. На пересечении с ребрами S 2 A 2 получим точки 6 2 и 8 2 . Далее по линиям связи – точки 6 1 и 8 1 .

    Соединив одноименные проекции точек, получим фронтальную 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 4 2 и горизонтальную 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 4 1 проекции замкнутой ломаной линии пересечения призмы и пирамиды. Видимость отдельных участков определяется по принципу (уже нашедшему применение в предыдущей задаче) – отрезок линии пересечения многогранников является видимым в проекции на какую-либо плоскость, если обе грани, на которых он лежит, видимые. В связи с этим невидимые участки изображены, как показано на рис. 6.1.

    Для упрощения чертежа точки линии пересечения на правой стороне пирамиды (на гранях SBC и SDC ) не обозначены, так как их построение ничем не отличается от рассмотренного выше.

    Рудаченко С.В., Рудаченко Т.В.

    НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

    Методические указания по выполнению

    графической работы

    «Пересечение плоскостей»

    для студентов 1 курса специальностей и направлений:

    240500 - Эксплуатация судовых энергетических

    установок,

    240600 - Эксплуатация электрооборудования и

    автоматики судов,

    100100- Электрические станции,

    100500 - Тепловые электрические станции

    2. Методы построения линии пересечения плоскостей-2

    3. Последовательность выполнения работы - 11

    Приложение - 18

    Литература - 19

    Калининград

    В каждом варианте задания указаны:

    Координаты шести точек;

    Способ задания плоскостей;

    Вид аксонометрической проекции.

    Варианты заданий приведены в файле «Задания.Doc».

    Требуется решить следующие задачи:

    а) по заданным координатам первых трех точек построить треугольник АВС - первая плоскость. По заданным координатам остальных трех точек и способу задания построить вторую плоскость (треугольник, две пересекающиеся прямые, две параллельные прямые, следы);

    б) построить линию пересечения двух плоскостей и составить алгоритм решения данной задачи;

    в) построить горизонтальный и фронтальный следы линии пересечения плоскостей;

    г) определить видимость плоскостей;

    д) перечисленные пункты (а-г) выполнить в заданной аксонометрической проекции.

    2. Методы построения линии пересечения плоскостей

    Две плоскости пересекаются по прямой линии. Эта линия определяется двумя точками, принадлежащими обеим плоскостям. Для нахождения таких точек обычно приходится выполнять специальные построения. Но суть этих построений можно прояснить в случае, когда одна из плоскостей перпендикулярна к какой-либо плоскости проекций. Рассмотрим такой случай .

    На Рис.1 показано пересечение двух плоскостей, из которых одна плоскость (заданная треугольником DEF ) расположена перпендикулярно к плоскости π 2 . Так как треугольник DEF проецируется на плоскость π 2 в виде прямой линии(D II F II), то фронтальная проекция отрезка прямой, по которому пересекаются оба треугольника, представляет собой отрезок К 1 II К 2 II на линии D II F II . Дальнейшее построение ясно из чертежа.

    На рис.2 горизонтальнопроецирующая плоскость ,заданная следами, пересекает плоскость треугольника АВС. Горизонтальная проекция линии пересечения этих плоскостей - отрезок 1 I 2 I определяется на следе h o  I .

    Вопрос о видимости линий всегда можно свести к вопросу о видимости точек .

    Если несколько точек расположены на общей для них проецирующей прямой, то видимой будет только одна из них:

    а) по отношению к пл. П 1 - Точка, наиболее удаленная от П 1 ;

    б) по отношению к пл. П 2 - Точка, наиболее удаленная от П 2 ;

    в) по отношению к пл. П 3 - Точка, наиболее удаленная от П 3 ;

    Рассмотрим рис.3. Точки 1 и 2 двух скрещивающихся прямых расположены на общей для них проецирующей прямой, перпендикулярной к пл. П 2 , а точки З и 4- на проецирующей прямой, перпендикулярной пл. П 1 .

    Точка пересечения горизонтальных проекций данных прямых представляет собой слившиеся проекции двух точек, из которых точка 4 принадлежит прямой АВ, а точка З - прямой СD. Так как 3 II 3 I > 4 II 4 I , то видима относительно пл. П 1 точка 3, принадлежащая прямой СD, а точка 4 закрыта точкой З. Так же и точка пересечения фронтальных проекций прямых АВ и СD представляет собой слившиеся проекции двух точек 1 и 2, из которых точка 1 принадлежит прямой АВ, а точка 2 - прямой СD. Так как 1 I 1 II >2 I 2 II , то видима относительно пл. П 2 точка 1, закрывающая собой точку 2.

    Рассмотрим теперь общий случай построения линии пересечения двух плоскостей (метод вспомогательных секущих плоскостей).

    Пусть одна из плоскостей, β, задана двумя пересекающимися прямыми, а другая, γ - двумя параллельными прямыми (рис. 4). В результате взаимного пересечения плоскостей β и γ получена прямая К 1 К 2 .

    Для определения положения точек К 1 и К 2 используем две вспомогательные фронтально-проецирующие плоскости ( 1 и  2), пересекающие каждую из плоскостей β и γ. При пересечении плоскостей β и γ с плоскостью  1 получаем прямые с проекциями 1 II 2 II и 3 II 4 II . Затем определяем горизонтальные проекции этих прямых - 1 I 2 I и 3’ 4’. Эти прямые в своем пересечении определяют первую точку линии пересечения плоскостей β и γ - точку К 1 .

    Получив горизонтальные проекции К 1 I и К 2 I , находим на следах f II О  1 и f II о  2 проекции К 1 II и К 2 II . Этим определяются проекции К 1 I К 2 I , искомой прямой пересечения плоскостей β и γ (проекции проведены штрихпунктирной линией).

    Алгоритм решения данной задачи:

    1.  1 ┴ П 2

    2. (1,2) =  1 ∩ β (АВ ∩ ВС) /\ (3,4) =  1 ∩ γ (ED || GF)

    з. К 1 = (1,2) ∩ (3,4)

    4.  2 ┴ П 2 /\  2 ||  1

    5. (5,6) =  2 ∩ β (АВ ∩ ВС) /\ (7,8) =  2 ∩ γ (ED || GF)

    6. К 2 = (5,6) ∩ (7,8)

    7. (К 1 , К 2) = β ∩ γ

    Если плоскости заданы их следами на плоскостях

    проекций (Рис.5), то естественно искать точки, определяющие прямую пере-

    сечения плоскостей, в точках

    пересечения одноименных

    следов плоскостей: прямая,

    проходящая через эти точки,

    является общей для обеих

    плоскостей, то есть их линией пересечения.

    Схему построения линии

    пересечения двух плоскостей (Рис. 4) можно распространить и на случай задания плоскостей их следами.

    Здесь роль вспомогательных

    секущих плоскостей выпол -

    Рис.5 няют сами плоскости проекций.

    Алгоритм:

    1. h I О  =  ∩ П 1 h I О β = β ∩ П 1

    2. М = h I О  ∩ h I О β

    3. f II О  = Σ ∩ П 2 f II О β = β ∩ П 2

    4. N = f II О  ∩ f II О β

    5. (M, N) =  ∩ β

    Точки пересечения одноименных следов плоскостей являются следами линии пересечения этих плоскостей. Поэтому для построения проекций линии пересечения плоскостей  и β (рис. 5) надо: 1) найти точку М I в пересечении

    следов h I О  и h I О β ‘ и точку N II в пересечении f II О  и f II О β ; 2) провести прямые линии М I N I и М II N II .

    При нахождении линии пересечения двух плоскостей (рис.4) вспомогательные секущие плоскости можно провести и через прямые, принадлежащие одной из плоскостей ( например, АВ, ВС или ED, GF), и найти точки пересечения с другой плоскостью .

    Следовательно, надо уметь строить точку пересечения прямой линии с плоскостью общего положения. Для построения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения надо выполнить следующее :

    1) через данную прямую провести некоторую вспомогательную плоскость;

    2) построить прямую, пересечения данной и вспомогательной плоскостей;

    3) определить положение точки пересечения прямых - данной и построенной.

    На рис.6 показано построение точки пересечения прямой DЕ с плоскостью , заданной треугольником АВС. Через прямую DЕ проведена вспомогательная горизонтально-проецирующая плоскость γ. По точкам 1 I и 2 I найдены фронтальные проекции 1 II и 2 II ’ и тем самым определена прямая (1,2), по которой вспомогательная плоскость γ пересекает плоскость , заданную треугольником АВС. Затем найдена точка К II , в которой фронтальная проекция прямой пересекает фронтальную проекцию 1 II 2 II . После этого остается найти горизонтальную проекцию точки пересечения - К I .

    Алгоритм

    1. γ Є (DE) /\ γ ┴ П 1

    2. (1,2) = γ ∩ (ΔАВС)

    3. К = (1,2) ∩ (DE)

    Считая, что в пространстве заданы прямая и непрозрачный треугольник, определим видимые и невидимые части

    прямой относительно

    плоскостей П 1 и П 2 (видимость определяется

    методом конкурирующих точек).

    Чтобы определить видимость на плоскости

    П 1 , берем конкурирую-

    щие точки 1 и З, горизонтальные проекции

    которых совпадают.

    Точка 1 принадлежит

    стороне треугольника

    АС, а точка З - прямой

    DЕ. Анализируем фронтальные проекция то-

    чек 1 и З: точка З наи-

    более удалена от плос- Рис. 6

    кости П 1 (координата z точки З больше, чем у точки 1) и, следовательно, на горизонтальной проекции отрезок D I К I - видимый, а К I Е I - невидимый.

    Видимость на П 2 определяется с помощью конкурирущих точек 4 и 5, фронтальные проекции которых совпадают. Точка 5 принадлежит прямой АВ, а точка 4 - прямой DЕ. Точка 5 наиболее удалена от плоскости (координата у точки 5 больше, чем у точки 4) и, следова-тельно, на фронтальной проекции отрезок D II К II - невидимый, а Е II K II - видимый.

    На рис.7 рассмотрен пример построения точки встречи прямой АВ с плоскостью общего положения , заданной следами. Через прямую АВ проведена горизонтальнопроецирующая плоскость β. (1,2) - линия пересечения плоскостей  и β. При пересечении

    фронтальных проекций 1 II 2 II и А II В II определена

    фронтальная проекция искомой точки К II . К I находится на А I В I (восстанавливается при помощи линии связи).

    Алгоритм

    1. β Є (АВ) /\ β ┴ П 1

    2. (1,2) = β ∩  Рис. 7

    3. К = (1,2) ∩ (DE)

    На рис.8 рассмотрен случай определения точки пересечения прямой частного положения АВ (АВ -горизонтальная прямая) с плоскостью , заданной следами. Для решения задачи через АВ была проведена горизонтальная плоскость.

    Пример 1. Построить линию пересечения кругового конуса со сферой (рисунок 1.3.53).

    Рисунок 1.3.53 – Пересечение конической и сферической поверхностей

    Задача решается способом секущих плоскостей-посредников . Следует отметить, что у обеих поверхностей имеется общая плоскость симметрии, которая проходит через ось симметрии конуса и центр симметрии сферы. Эта плоскость обозначена Ф ( Ф 1 ). Она определяет опорные точки 1 ( 1 2 ) – высшую и 2 ( 2 2 ) – низшую. Горизонтальные проекции этих точек 1 1 и 2 1 расположены соответственно на линии Ф 1 . К опорным следует отнести и точки А , В , определяющие видимость линии пересечения данных поверхностей на горизонтальной плоскости проекций П 1 . Эти точки находятся в плоскости экватора Γ ( Γ 2 ) сферической поверхности, которая пересекает конус по окружности радиуса R , а сферу по экватору. В пересечении горизонтальных проекций этих линий получаем точки А 1 и В 1 . Фронтальные проекции А 2 и В 2 точек видимости А и В определяются соответственно на линии Γ 2 .

    Далее определяем нужное количество промежуточных (произвольных, случайных) точек, используя для этого вспомогательные горизонтальные плоскости-посредники, одна из которых Γ¢ ( Γ¢ 2 ) показана на чертеже. С её помощью построены точки 3 и 4 . Плоскость Γ¢ ( Γ¢ 2 ) пересекает конус и сферу по соответствующим окружностям, которые проецируются в натуральную величину на плоскость П 1 . Их пересечение позволяет определить первоначально горизонтальные проекции 3 1 , 4 1 точек 3 и 4 , а затем по линии связи фронтальные проекции этих точек соответственно на линии Γ¢ 2 .

    Построенные точки соединяют на обеих проекциях с учётом видимости плавной кривой с помощью лекала.

    На фронтальной проекции половина кривой находится на задней стороне данных поверхностей. Но невидимая её часть закрывается видимой. На горизонтальной проекции видна часть кривой, на которой находятся точки 1 , А , В , расположенные выше экватора сферы. Очерковая образующая фронтальной проекции конуса между точками 1 и 2 находится внутри сферы и изображена поэтому сплошной тонкой линией. Точно так же изображена часть линии очерка сферы, находящаяся внутри конуса. На горизонтальной проекции тонкой линией показана часть окружности экватора, находящаяся внутри конуса.

    Пример 2. Построить линию пересечения двух конических поверхностей вращения (рисунок 1.3.56).

    В данном случае в качестве вспомогательных поверхностей используются концентрические сферы . Но прежде чем рассмотреть решение этой задачи, остановимся на одном частном случае пересечения поверхностей вращения.

    Пусть две такие поверхности имеют общую ось, т.е. являются соосными . В этом случае они будут пересекаться по окружностям, число которых равно числу точек пересечения меридианов поверхностей.

    Пусть одна поверхность образуется вращением меридиана m ( m 2 ), а другая – вращением меридиана n ( n 2 ) около общей оси i ( i 2 ) (рисунок 1.3.54). При этом общие точки А ( А 2 ), В ( В 2 ), С ( С 2 ) меридианов образуют окружности, общие для данных поверхностей, и число таких окружностей равно числу точек пересечения меридианов.

    Рисунок 1.3.54 – Образование соосных поверхностей вращения

    Рисунок 1.3.55 – Пересечение соосных поверхностей вращения

    Предположим, что некоторая поверхность вращения пересекается со сферой, причём центр сферы находится на оси этой поверхности. При таком условии сфера будет соосной с поверхностью, и в пересечении получается окружность (рисунок 1.3.55).

    Свойство сферы, имеющей центр на оси поверхности вращения, пересекать поверхность по окружностям является основой способа концентрических сфер.

    Способ концентрических сфер применяется при следующих условиях:

    1) пересекающиеся поверхности являются поверхностями вращения;

    2) оси поверхностей пересекаются;

    3) пересекающиеся оси образуют общую плоскость симметрии, параллельную плоскости проекций.

    В рассматриваемом примере (рисунок 1.3.56) оси вращения данных конусов i , l пересекаются в точке О ( О 1 , О 2 ) и образуют общую плоскость симметрии Ф(Ф 1), параллельную фронтальной плоскости проекций П 2 .

    Вначале определяем опорные точки. Это наивысшая точка 1 и наинизшая точка 2 , которые расположены в общей плоскости симметрии Ф ( Ф 1 ) и получаются в пересечении главных меридианов данных конусов. Исходя из этого отмечаем фронтальные проекции 1 2 и 2 2 точек 1 и 2 . Горизонтальные проекции 1 1 и 2 1 этих точек отмечаем на линии l 1 ≡ Ф 1 . К опорным отнесём и точки, полученные при помощи вспомогательной секущей сферы наименьшего радиуса, проведённой из точки О 2 . Для определения этого радиуса нужно из точки О 2 провести две нормали к очерковым линиям поверхностей и выбрать большую из них. Если в качестве радиуса вспомогательной сферы взять меньшую нормаль, то одна из данных поверхностей с такой сферой не пересечётся. В данном примере с помощью сферы наименьшего радиуса построены точки А и А ¢ . Эта сфера (на чертеже она изображается окружностью) касается конуса с осью вращения i , а конус с осью вращения l пересекает. И касание, и пересечение осуществляются по окружностям, которые на фронтальной проекции изображаются отрезками. В их пересечении получаются точки А 2 ≡ А ¢ 2 .

    Рисунок 1.3.56 – Способ концентрических сфер

    Горизонтальные проекции А 1 , А " 1 точек А и А " построены при помощи окружности-параллели конуса с осью i , по которой вспомогательная сфера наименьшего радиуса касается этого конуса. Точки 3 и 4 видимости линии пересечения данных поверхностей на плоскости П 1 также относятся к опорным точкам. Они определяются при помощи плоскости Γ ( Γ 2 ), проведённой через ось вращения l второго конуса. Эта плоскость пересекает конус с осью i по окружности m ( m 2 , m 1 ), а второй конус – по образующим q и q 1 , которые совпадают с его осью. Горизонтальные проекции 3 1 , 4 1 точек видимости 3 и 4 получаются в пересечении окружности m 1 с линиями q 1 и q " 1 .

    Фронтальные проекции 3 2 ≡ 4 2 этих точек определяются на линии l 2 ≡ Γ 2 . На плоскости П 1 видимыми являются точки, расположенные на линии пересечения выше плоскости Γ ( Γ 2 ). Это точки 1, А, А " , 3 и 4 . Промежуточные точки линии пересечения определены с помощью сфер, проведённых из центра О 2 , радиусы которых больше радиуса R min – радиуса наименьшей сферы, но меньше радиуса наибольшей сферы, которая может быть проведена через наиболее удалённую точку 2 2 линии пересечения.

    Ввиду того, что точка 2 определяется с помощью общей плоскости симметрии Ф ( Ф 1 ), нет необходимости использовать сферу наибольшего радиуса. Определение промежуточных точек линии пересечения можно видеть на примере построения точек 5 и 6 . Фронтальные проекции 5 2 , 6 2 этих точек получены в пересечении линий a 2 и b 2 , которыми изображаются фронтальные проекции соответствующих окружностей a и b как принадлежащих одной и той же вспомогательной сфере-посреднику, соосной с данными поверхностями. Горизонтальные проекции 5 1 , 6 1 точек 5 и 6 построены при помощи окружности-параллели а конуса с осью i .

    Вспомогательные сферы-посредники могут быть и эксцентрическими , т.е. имеющими различные центры. Они применяются при следующих условиях:

    1) из двух пересекающихся поверхностей одна является поверхностью вращения, а другая имеет семейство круговых сечений;

    2) оси поверхностей в общем случае не пересекаются;

    3) поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную плоскости проекций.

       


    Новости

    1 сентября состоялся проект Евровидения "Танцы со звездами". Читать дальше
    Все новости






    Ищу партнера

    Любовь Логвина 1999г.р.
    E-латина, E-стандарт
    рост-130 см
    Любовь Логвина ищет партнера для занятий в ТСК "Русский клуб"

    Смотреть весь список



              
    rss